¿Qué es un exponente o potenciación de un número?
El exponente o potencia es una operación matemática que indica cuantas veces debemos multiplicar un número por sí mismo. Entre los exponentes que destacan encontramos el 2 y 3, los cuales tienen un nombre especial, el 2 como la segunda potencia o cuadrado de un número y es el resultado de tomarlo como factor dos veces, el 3 como la tercera potencia o cubo de un número y es el resultado de tomarlo como factor tres veces.
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Partes de la potenciación
La potenciación consta de dos partes básicas:
- Base (b): Es el factor que se repite.
- Exponente (n): Indica la cantidad que se repite la base.
Se representa de la siguiente forma:
bn
Suponiendo que se tiene 24, la base sería 2 y el exponente sería 4, b =2 y n = 4.
Leyes de los exponentes
Las siguientes leyes son conceptos básicos e importantes con respecto a la teoría:
- Todo número o cantidad elevada a potencia cero equivale a 1, esto quiere decir que si el exponente es igual a cero el resultado siempre será 1. Por ejemplo: 20 = 1, 30 = 1, 60 = 1
- Todo número o cantidad elevada a la primera potencia equivale al número base, por lo tanto, si el exponente es igual a uno el resultado siempre será el número base. 21 = 2, 31 = 3, 61 = 6
- Si la base es 1(base = 1), el resultado siempre tiene valor de 1 sin importar el valor del exponente. 14= 1, 120 = 1, 133=1
- Si la base es mayor a 1 (base > 1), cuanto mayor es el exponente, mayor es el resultado. 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16
- Si la base es menor a 1(base < 1), cuanto mayor es el exponente, menor es el resultado. 0.52 = 0.25, 0.53 = 0.125, 0.54 = 0.0625
Las siguientes leyes se aplican con con respecto a operaciones:
- Producto de potencias de igual base: Al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, por lo tanto, bn x bm = b(n + m) , suponiendo que a = 2, n= 3 y m = 4 y sustituyendo se tiene que 23 x 24 = 2(3+4), se tendría (2x2x2) x (2x2x2x2) = (2x2x2x2x2x2x2), y así se comprueba que se obtiene el mismo resultado.
- Cociente de potencias de igual base: Al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes, por lo tanto, bn ÷ bm = b(n - m), suponiendo que a = 3, n=4 y m = 2 y sustituyendo se tiene que 34 ÷ 32 = 3(4 - 2), se tendría (3x3x3x3) ÷ (3x3) = (3x3).
- Multiplicación de exponentes: Al multiplicar los exponentes incrementamos las veces que debemos considerar el número base, se expresa como (bn)m. Lo primero que se debe hacer es multiplicar n x m y el resultado es la cantidad que se repite la base. Suponiendo que b= 2, n=3 y m= 2 y sustituyendo se tiene que (23)2 = 2(2 x 3), se tendría como resultado (2x2x2x2x2x2) = 26.
Nota: Es importante considerar el signo de los exponentes.
La siguiente tabla muestra las fórmulas comúnmente utilizadas en exponentes con respecto a las leyes de los exponentes, para algunas no se hicieron mención ya que es posible obtenerlas mediante las mencionadas.
b1 = b |
b0 = 1 |
b-n = 1 / (bn) |
bn x bm = b(n + m) |
bn / bm = b(n - m) |
(bn)m = b(n x m) |
(ab)n = an bn |
(a / b)n = an / bn |
Exponente negativo
Para hacer el cálculo del exponente negativo debemos dividir 1 entre el valor base con su potencia positiva, en otras palabras es el recíproco, ya que de esta forma se tiene el exponente positivo. En forma matemática se expresa de la siguiente manera:
b-1 = 1 / bn
Existe otra forma de expresar un exponente negativo, ya que un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número, pero puede resultar confuso y tardado para cantidades grandes. Por ejemplo: 2-3= 1÷2÷2÷2
Ejemplos:
A: 2-3 = ?
B: 8-2 = ?
C: 1-1 = ?
D: 2-0 = ?
Técnica de los exponentes
Algo práctico y funcional es iniciar con el número 1 y posteriormente multiplicar o dividir las veces que indica el exponente, es una forma para no olvidar que todo número con exponente cero es igual a 1.
33 | 1 x 3 x 3 x 3 | 27 |
|---|---|---|
32 | 1 x 3 x 3 | 9 |
31 | 1 x 3 | 3 |
30 | 1 | 1 |
3-1 | 1 / 3 | 0.333... |
3-2 | 1 / 3 / 3 | 0.111... |
3-3 | 1 / 3 /3 / 3 | 0.037... |
Exponente fraccionario
Un exponente fraccionario corresponde a la raíz de un número, por lo tanto; si el exponte se expresa en forma de fracción, para realizar la operación matemática lo conveniente es transformar en forma de raíz, por ejemplo:
22/4 = 4√22
43/5 = 5√43
Conoce más sobre: “Raíz de un número”. →
Exponente fraccionario
Un exponente fraccionario corresponde a la raíz de un número, por lo tanto;
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